Geometria Espacial – Conceitos, figuras geométricas e curiosidade

A Geometria Espacial é o campo da matemática que estuda os objetos geométricos no espaço. Sendo assim, espaço é entendido como o lugar onde podemos encontrar todas as propriedades geométricas tridimensionais de uma figura.

Desse modo, enquanto a geometria plana estuda objetos bidimensionais, na geometria espacial é analisado as figuras com três dimensões, ou seja, comprimento, largura e altura. Portanto, a diferença entre essas duas áreas da matemática está no volume.

Sendo assim, a geometria espacial está presente tanto na matemática, quanto no nosso cotidiano. Aliás, muito presente, por meio de objetos, e estruturas ao nosso redor.

Portanto, é por isso que hoje vamos aprender mais sobre a essa área da matemática. Assim sendo, vamos abordar os principais conceitos e as principais figuras geométricas. Vamos lá.

Conceitos Básicos da Geometria

A Geometria Espacial estuda todos os objetos que possuem mais de uma dimensão dentro do espaço. Sendo assim, estamos falando dos objetos chamados de “sólidos geométricos” ou “figuras geométricas espaciais”. Sendo assim, através da geometria espacial, podemos determinar, através de cálculos matemáticos, o espaço ocupado por esses objetos, ou seja, o seu volume.

Desse modo, antes de partir para as figuras geométricas espaciais propriamente dita, é preciso estar a par de alguns conceitos básicos. Sendo assim, vamos à eles:

• Ponto: conceito fundamental a todos os subsequentes, uma vez que todos sejam, formados por inúmeros pontos. Desse modo, os pontos são infinitos e não possuem dimensão mensurável (adimensional). Portanto, sua única propriedade garantida é sua localização;
• Reta: composta por pontos, a reta é infinita nos dois lados e determina a distância mais curta entre dois pontos determinados, ou seja, possui apenas comprimento;
• Linha: a linha, contudo, é diferente do conceito de reta. Pois apesar de ser formada por pontos, a linha pode ser curva ou não. Por exemplo, a circunferência é formada por uma linha curva;
• Vértice: o vértice é um ponto que define o encontro de segmentos de retas que formam os lados dos sólidos geométricos;
• Plano: planos são regiões infinitas bidimensionais, ou seja, de duas dimensões.

No entanto, além desses do ponto, reta e plano, usados também na geometria plano, precisamos levar em consideração outros conceitos dentro da geometria espacial. Sendo assim, podemos citar:

• “Por três pontos não colineares passa um único plano.”
• “Qualquer que seja o plano, existem infinitos pontos nesse plano e infinitos pontos fora dele.”
• “Se dois planos distintos têm um ponto em comum, então a intersecção entre eles é uma reta.”
• “Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então essa reta está contida nesse plano.”

Figuras Geométricas Espaciais

Desse modo, entre os principais sólidos geométricos estudados na geometria espacial, podemos citar os seguintes: cilindro, cubo, dodecaedro, tetraedro, octaedro, icosaedro, cone, esfera, paralelepípedo e a pirâmide.

Sendo assim, essas figuras são chamadas de poliedros, justamente por serem figuras tridimensionais, que possuem, altura, largura e comprimento.

Assim sendo, vamos conhecer as propriedades de cada uma dessas figuras:

Cilindro

Primeiramente, o cilindro que é um poliedro com duas bases circulares e congruentes, com lados de formato circular.

Desse modo, os principais elementos de um cilindro, são:

• Base: duas bases com formato circular e além disso, são paralelas entre si;
• Raio: as bases são círculos que possuem uma medida do centro até a extremidade, chamada de raio;
• Geratriz: as geratrizes são segmentos de retas que formam o lado do cilindro;
• Diretriz: a diretriz é o ponto na base da geratriz que indica a direção da geratriz.
• Área da base: A_b = π . r²
• Área lateral: Um _l  = 2. π. r. h
• Área total: A_t = 2 . A_b + A_l
• Volume: V = A _b  . h

Cubo

O cubo é um hexaedro regular, ou seja, possuem 6 faces com as mesmas medidas. E isso incluí a área das faces, os ângulos e a quantidade de arestas. Ou seja, um exemplo de figura geométrica perfeita.

Desse modo, a o cubo é constituído pelos seguintes elementos:

•  12 arestas congruentes;
• 6 faces quadrangulares;
• 4 diagonais internamente no cubo;
• 8 vértices;
• 24 ângulos retos.
• Área lateral: 4a²
• Área total: 6a²
• Volume: aaa = a ³

Dodecaedro

O Dodecaedro é um poliedro regular composto de 12 faces pentagonais.

Sendo assim, possui:

• 30 arestas;
• 12 faces pentagonais;
• 20 vértices;
• Área Total: 3√25+10√5a²
• Volume: 1/4 (15 + 7√5) a ³

Tetraedro

O Tetraedro é um poliedro regular composto de 4 faces triangulares.

Assim sendo, contém:

• 6 arestas;
• 4 faces triangulares;
• 4 vértices;
• Área total: 4a²√3/4
• Volume: 1/3 Ab.h

octaedro

O Octaedro é um poliedro regular de 8 faces formada por triângulos equiláteros.

Sendo assim, formado por:

• 12 arestas;
• 8 faces;
• 6 vértices;
• Área total: 2a²√3
• Volume: 1/3 a³√2

Icosaedro

O icosaedro é um poliedro convexo composto por 20 faces triangulares.

Desse modo, é constituído por:

• 30 arestas;
• 20 faces triangulares;
• 12 vértices;
• Área total: 5√3a²
• Volume: 5/12 (3 + √5) a ³

Cone

O cone tem o formato de uma pirâmide.

Portanto, é formado a partir dos seguintes elementos:

• A base é um círculo que possui um raio;
• Os segmentos de retas que formam os lados do cone;
• O vértice é ponto que não pertence ao plano da base;
• Área da base: A_b = π . r²
• Área lateral: A_l = π . r . g (aonde “g” é a medida da geratriz)
• Área total: A _t  = π. r. (g + r)

Esfera

A esfera é limitada por ser uma superfície esférica.

Desse modo, ela possui alguns elementos diferentes das demais figuras geométricas espaciais. Sendo eles:

• Superfície Esférica: é a região superficial da esfera;
• Cunha Esférica:  é uma região entre dois semicírculos;
• Fuso Esférico: é uma parte da esfera obtida pelo giro de uma semicircunferência a um certo ângulo;
• Calota Esférica: é uma parte da esfera cortada por um plano perpendicular ao eixo de rotação;
• Polos: são pontos nas extremidades do eixo de rotação da esfera;
• Paralelo: é uma circunferência perpendicular ao eixo de rotação da esfera;
• Meridiano: é uma circunferência na superfície na mesma direção do eixo de rotação da esfera.

Sendo assim, temos:

• Área total: A = 4 . π . r²
• Volume: V =  ⁴ / ₃ . π. r³

Paralelepípedo

O paralelepípedo é um poliedro formado por paralelogramos. Desse modo, as faces opostas são paralelas, formadas por ângulos retos.

Desse modo, temos:

•  6 faces;
•  8 vértices;
• 12 arestas;
• Área da base: A_b= b . h
• Área lateral: A_l= 2(ac + bc)
• Área total: A_t= 2(ab + ac + bc)
• Volume: V = a. b. c

Pirâmide

É um poliedro com base poligonal, no qual os lados são formadas por polígonos triangulares.

Sendo assim, possui:

• Arestas laterais: segmentos de retas da base até o vértice;
• Faces laterais: formadas por triângulos;
• Arestas da base: segmentos de retas ligando os vértices;
• Altura da pirâmide: definida pelo vértice;
• Apótema da pirâmide: altura da face da pirâmide;
• Área lateral: A = (b . h)/2
• Área total: A_T = A_B + A_L
• Volume: V =  ¹ / ₃  . Um _B  . h

Curiosidade sobre a geometria espacial

Contudo, entre os poliedros apresentados aqui, cinco deles, o tetraedro, o cubo, o octaedro, o dodecaedro e o icosaedro são chamados de “Sólidos Platônicos”.

Desse modo, todas essas figuras são poliedros convexos, ou seja, todas as suas faces são polígonos regulares congruentes formados por arestas. Contudo, o nome “sólido platônico”, é uma homagem à Platão, que foi o primeiro matemático que provou a existência desses cinco poliedros regulares.

Exercícios

Sendo assim, agora que você já conhece o conceito de geometria espacial e as figuras geométricas, aproveite para testar seus conhecimentos com alguns exercícios. Aliás, confira alguns a seguir.

Exercício 1

Sabe-se que o raio da Terra equivale a 6.371 km. Sendo assim, calcule a área superficial do planeta Terra.

Resposta:

Como a Terra é uma esfera, então podemos utilizar a fórmula da esfera para calcular a área superficial de um objeto esférico, ou seja:

A = 4πr² = 4 x 3,14159 x 6,371² = 510.064.041,1 km²

Portanto, a área superficial da Terra é de aproximadamente: 510.064.041,1 km²

Exercício 2

(PUC RS/2013) Um desafio matemático construído pelos alunos do Curso de Matemática tem as peças no formato de um cone. Sendo assim, a figura abaixo representa a planificação de uma das peças construídas. Portanto, a área dessa peça é de __ cm².

b) 16 π

c) 20 π

d) 28 π

e) 40 π

Resposta:

A área da peça equivale a soma da área da base com a área lateral, pois se trata da planificação de um cone.

Sendo assim, a área da base do cone é dada pela fórmula:

A _b  = π. r² = 4 ² π = 16π

A área lateral é dada pela fórmula:

Um _l  = r. g. π = 4. 6 π = 24π

A área total do cone é a soma das áreas da base e lateral, assim:

At = 16π + 24π = 40π

Resposta D.

Por fim, agora que você já conheceu mais sobre a geometria espacial, talvez queira se aprofundar no tema. Aliás, conheça mais sobre a geometria analítica aqui.

Fontes: Matemática Básica, Toda Matéria, Todo Estudo, Brasil Escola

Fonte Imagem Destaque: CreativeMarket