Na matemática existem diversas fórmulas e maneiras de se fazer cálculos. Um dos termos que aprendemos durante os estudos é em relação ao máximo divisor comum, conhecido por MDC. Assim, o termo se refere ao maior dos divisores entre dois ou mais números naturais. Ou seja, são números que, ao divididos por eles mesmos, o total será zero.
Dessa forma, uma das maneiras de se encontrar o MDC é utilizando o Teorema Fundamental da Aritmética. Nesse sentido, o teorema decorre da decomposição dos números em fatores primos. Ou seja, a decomposição sugere que o número composto pode ser escrito como números primos, sendo o produto desses próprios números.
Todavia, o máximo divisor comum deve conter divisores, os maiores números entre os números naturais encontrados, que apareçam ao mesmo tempo na decomposição. Assim, quando a divisão for exata, sendo o zero o total do cálculo, significa que o número proposto é o divisor do número dado.
Calculando o máximo divisor comum
Para que o cálculo do MDC seja realizado é possível seguir duas formas, a decomposição em fatores primos ou decomposição simultânea. Assim, para decompor usando os fatores primos é preciso observar algumas regras. São ela:
- Decompor os números dados em fatores primos;
- Pegar os fatores primos comuns com seus expoentes menores;
- Fazer o produtos desses fatores.
Para que as regras sejam vistas em prática, vamos analisar qual o máximo divisor comum dos números 16 e 24. Dessa forma, temos:
- 16 = 2 x 2 x 2 x 2 = 24
- 24 = 2 x 2 x 2 x 3 = 2³ x 3
Assim, pelo exemplo, é possível calcular que os fatores comuns entre os dois números apresentados são 24 e 2³. Dessa forma, o menor expoente é calculado, sendo 2³ = 8. Logo, o MDC (16; 24) = 8. Ou seja, o número 8 é o maior número natural para a divisão dos dois números dados.
Aqui é importante ressaltar que dois números são primos entre si, quando o maior divisor comum entre eles é 1.
Decomposição simultânea
Outra forma para que o cálculo do MDC seja feito é pela decomposição simultânea. Assim, o método consiste na divisão constante dos números dados pelo menos fator primo. E, caso o número não seja divisível pelo menor fator, ele se repete no cálculo.
Dessa forma, o resultado da multiplicação dos números, que são fatores primos comuns, são os fatores divisíveis dados os menos tempo. Podemos analisar esse método no seguinte exemplo:
180; 240; 270 | 2
90; 120; 135 | 2
45; 60; 135 | 2
45; 30; 135 | 3
15; 5; 45 | 3
5; 5; 15 | 3
5; 5; 5 | 5
1; 1; 1 |
Assim, como resultado temos: MDC (180; 240; 270) = 2 x 3 x 5 = 30. Neste caso, pode-se observar que o cálculo foi feito pegando o menor número primo, o 2, e dividindo. Em seguida, dividi-se pelo próximo número até que resultado final seja 1. Entretanto, quando os números não podem ser divididos, eles se repetem, como aconteceu com o 135.
Nesse sentido, o MDC está relacionado com a multiplicação dos números primos que puderam dividir todos os números dados ao mesmo tempo.
Propriedades do MDC
- Quando dois ou mais números são dados, o MDC desses números será o divisor encontrado que seja compatível com todos os números. Assim, como exemplo temos: MDC (3; 6; 12) = 3. 3 é divisor de 6 e 12, então ele é o máximo divisor comum;
- Vale lembrar que são primos entre si dois números que sejam consecutivos. Ou seja, MDC (25, 26) = 1. O maior número que divide 25 e 26 é 1. Então, ele é o máximo divisor entre 25 e 26.
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Fontes: Matemática básica, Mundo Educação
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