Matemática

Números Racionais – O que são, seus subconjuntos e frações

Presente em nosso dia a dia, o conjunto dos números racionais é formado por números que podem ser escritos na forma de fração.

Atualizado em 10/02/2020

Provavelmente você já ouviu falar de números racionais, não é mesmo? Além disso, sabe o que são e como são escritos? Certamente você vai aprender o suficiente nessa matéria.Por fim, não precisa ter medo, além de não ser um bicho de sete cabeças, também explicamos de uma forma fácil.

Primeiramente, o conjunto dos números racionais são aqueles que podem ser escritos na forma de fração. Além disso, também de forma decimal finita e também decimal infinita e periódica.

Em contraste, o conjunto dos números racionais é usado por mais de milhares de anos. Certamente utilizamos para representar quantidade e medida. Para você entender bem, esse conjunto de números é representado pelo símbolo Q.

Além disso, ele é incluso no conjunto dos números naturais (N) e os inteiros (Z).

Números Racionais - O que são? Seus subconjuntos e frações
Fonte: Estudo Kids

Assim: N⊂Z⊂Q

Logo:

N está contido em Z,

Z está contido em Q,

N está contido em Q.

  • O conjunto dos números naturais (N) é N = {0, +1, +2, +3, +4, +5}
  • O conjunto dos números inteiros (Z) é Z = {-7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, +1, +2, +3, +4, +5}
  • O conjunto dos números racionais (Q) é Q = {-7; -6; -5; -4; -3,4; -3; -2; -1,55…; -1; -0,422…; −13; -0,02; 0; +12; +0,8; +1; +2; +3; +4; +5; +9,6}

Certamente podemos dizer que os números racionais são formados por números inteiros, decimais exatos e dizimas periódicas.

Subconjuntos dos números racionais

Primeiramente, de antemão os números racionais também possuem subconjuntos, confira a seguir:

Conjunto dos números racionais não nulos

Q*= {x∈Q/x≠0}

Por exemplo: Q* = {…+2,5; -2; -1,5; -1; +12, +1; +1,5; +2; + 2,5…}

OBS: O (*) que dizer que o zero não pertence ao conjunto por ser o elemento nulo.

Conjunto dos números racionais não negativos

Q+= {x∈Q/x≥0}

Por exemplo: Q+ = {0; +12, +1; +1,5; +2; +2,5 …}

Conjunto dos números racionais positivos e não nulo

Q+*= {x∈Q/x>0}

Por exemplo: Q+* = {+12, +1; +1,5; +2; +2,5 …}

Conjunto dos números racionais não positivos

Q−= {x∈Q/x≤0}

Por exemplo: Q− = {-2; -1,5; -1; 0}

Conjunto dos números racionais negativos e não nulo

Q−*= {x∈Q/x<0}

Por exemplo: Q−* = {-2; -1,5; -1}

Acima de tudo, vamos agora dar destaque para fração. Mas, afinal, do que se trata?

O que é fração?

Acima de tudo, uma fração corresponde em uma divisão entre números inteiros. Além disso, ela é representada dessa forma:

a/b

Além disso, sendo os números “a” e “b” inteiros e o número “b” sempre será diferente de zero. Logo, depois dessa definição, podemos representar os números racionais da seguinte maneira:

Q= {a/b | a∈Z, b∈Z*}

Por fim, se lê: o conjunto dos números racionais é composto por frações de “a” por “b”. Enquanto isso, “a” é um número inteiro e “b” é um número inteiro diferente de zero.

Números que podem ser escritos na forma de fração

Inicialmente, já sabemos que os números racionais são todos os números que podem ser escritos na forma de fração. Sobretudo, para mostrar que um numero é racional é só provar que existe uma maneira de escreve-lo nessa forma. Portanto, eles pode ser:

  • As próprias frações

Em resumo, qualquer fração é um número racional. Porque, naturalmente já está escrita na forma necessária para isso.

Números Racionais - O que são? Seus subconjuntos e frações
Fonte: Matemática Básica
  • Os números inteiros

Primeiramente, para escrever qualquer número inteiro na forma de fração, basta você dividi-lo por 1. Simples né? Pois todo número dividido por 1 é igual a ele mesmo. Assim, podemos dar de exemplo o número -3, que é inteiro e na forma de fração ele fica:

– 3/1

Números Racionais - O que são? Seus subconjuntos e frações
Fonte: Reforçando Matemática
  • Decimais finitos

Acima de tudo, qualquer decimal finito. Isto é, que possui um número limitado de casas decimais. Além disso, pode ser escrito na forma de fração. Acima de tudo, basta lembrar que todo decimal finito é resultado de uma divisão por alguma potência de base 10.

Por exemplo: 2,455 é um decimal finito que possui três casas decimais. Portanto, significa que uma das frações equivalentes a ele possui denominador igual a 103. Logo, essa fração é:

2,455 = 2455/103

Além disso, elimina-se a vírgula e divide-se esse número por uma potência de base 10 e expoente igual ao número de casas decimais.

Números Racionais - O que são? Seus subconjuntos e frações
Fonte: Matemática Báscia
  • Dízimas periódicas

Primeiramente, uma dizima periódica é um número racional decimal que possui uma repetição dentro dos decimais. Por exemplo:

1,7777….

Assim, é uma dízima periódica de período 7.

1,656565…

Assim, é uma dízima periódica de período 65.

0,45939393…

Assim, é uma dízima periódica de período 62 e antiperíodo 45.

Finalmente, uma dízima periódica sempre pode ser escrita na forma de fração. Para isso, tome o exemplo da dízima 2,363636…

Além disso, agora, veja: o período dessa dizima é o 36, perceba que há dois algarismos nesse período. Primeiramente, você iguala essa dizima a x e a multiplica por 102 (102 = 100); e na sequencia subtrai ambas, conseguiremos transforma-la em fração. Acima de tudo, vale ressaltar que o expoente da potência de base 10 sempre será igual ao número de algarismos no período (no caso citado 2).

Assim:

x = 2,363636…

100x = 236,3636…

100x – x = 236,3636… – 2,363636…

Agora, por sua vez, subtraindo a parte decimal, vemos que por serem iguais, serão zero. Veja:

99x = 236 – 2

99x = 234

Logo, encontraremos a fração geratriz:

99x = 234

x = 234/99

Números Racionais - O que são? Seus subconjuntos e frações
Fonte: YouTube

Gostou dessa matéria? Então venha conhecer essa: Números primos, o que são, como identificá-los e para que são usados

Fontes: TodaMatéria, BrasilEscola e InfoEscola 

Imagem destacada: Estudo Kids