Matemática

Números Inteiros – O que são, relação de inclusão e subconjuntos

Os números inteiros constituem o conjunto numérico composto por números positivos, negativos, e o zero. Conheça mais sobre esse conjunto.

Atualizado em 31/05/2020

O sistema numérico foi criado para quantificar as coisas. Desse modo surgiram os números, e dentro de todo o conjunto numérico, existem os chamados números inteiros. Portanto, entende-se por número inteiro todo numeral que não é decimal, ou seja, todos os números naturais e os opostos aditivos.

Sendo assim, os números inteiros positivos e negativos, constituem o conjunto dos números inteiros, representandos pelo símbolo Z. Contudo, o conjunto de números inteiros é infinito, tanto para os números negativos, quanto para os positivos.

= {…,- 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3,…}

Nesse sentido, o zero é um número neutro, portanto, não é definido como negativo ou positivo.

Além disso, por serem infinitos, todos os números inteiros possuem um antecessor e um sucessor. O sucessor sempre será o número que vem a seguir. Por exemplo, o sucessor de 2 é o 3, mas o sucessor do número -2 é 0 -1, já que o -1 vem depois do -2.

Então, hoje iremos aprender tudo sobre esse conjunto de números. Vamos lá.

Relação de Inclusão

Devido a variedade de conjuntos numéricos que se complementam, eles podem ser representados pelo diagrama de Venn. Assim como o exemplo abaixo, que mostra a relação de inclusão entre o conjunto dos números inteiros com o conjunto de números naturais (N), que não contemplam os números negativos.

A relação de inclusão no conjunto dos inteiros envolve o conjunto dos números naturais (N).
Fonte: Toda Matéria

Portanto, entendemos que, se um número é natural, ele também é inteiro.

Representação na reta numérica

O conjunto dos números inteiros podem ser dispostos sobre uma reta numérica. Desse modo, usamos o número zero como o ponto de origem, e utilizamos uma unidade de medida para marcar os números inteiros sobre a reta.

Assim, a única regra dessa reta numérica, é que os números sejam dispostos em uma sequência crescente. Como mostrado no exemplo abaixo:

Números inteiros na reta numérica.
Fonte: Escola Educação

Nessa reta, os números negativos sempre ficaram antes do zero, e os positivos depois do zero. A partir disso, é possível notar uma simetria entre os números oposto. Como o número -3 por exemplo, que tem a mesma distância para o 0 que o número 3.

Então, uma forma de saber se um número é oposto ou simétrico a outro, é medindo a distância de ambos em relação ao zero.

Subconjuntos dos números inteiros

Contudo, existem também os subconjuntos dos números inteiros, que são:

  • ℤ* : é o subconjunto dos números inteiros, com exceção do zero, ou seja, ℤ* = {…, -3,-2,-1, 1, 2, 3, 4, …}
  • : Conjunto dos inteiros não negativos, ou seja, ℤ+ = {0, 1, 2, 3, 4, …}
  • ℤ*: é o subconjunto dos inteiros, com exceção dos negativos e do zero. ℤ*+ = {1,2,3,4, 5…}
  • ℤ _ : é o subconjunto dos inteiros não-positivos, ou seja, ℤ_= {…, -4,-3,-2,-1, 0}
  • ℤ*_ : são os números inteiros, com exceção dos positivos e do zero, ou seja ℤ*_= {…, -4,-3,-2,-1}.

Obs: o uso do (*) significa que o número zero não pertence ao conjunto.

Subconjunto de N contido em Z nos números inteiros.
Fonte: Portal Exatas

Divisibilidade

Quanto a divisibilidade desses números, temos uma regra: um número inteiro x, que não seja o 0, é divisível por outro número y, se a divisão destes números for exata, ou seja, possuir resto zero.

Vejamos os exemplos:

  • 12 é divisor de 4, pois 12 ÷ 4 = 3.
  • 8 é divisor de 2, pois 8 ÷ 2 = 4.

Quando isto ocorre, dizemos que y é divisível por x ou que y é múltiplo de x.

 

Fonte: 2 em 1 Comunicação e Educação

Por fim, vamos a alguns exercícios sobre o tema:

Exercícios de números inteiros

Exercício 1

Considere o conjunto A = {-8, -2, 0, 1/2, 5, 9}, indique neste conjunto quais números pertencem ao conjunto dos inteiros.

Resposta: O conjunto dos inteiros são representados por  Z = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}.  As reticências indicam que o conjunto é infinito para os dois lados. Então, temos que os inteiros são os números negativos e positivos, mais o zero. Portanto, no conjunto A acima, temos que -8, -2, 0, 5 e 9 são números inteiros.

Exercício 2

Calcule a diferença entre os inteiros positivos com o conjunto dos números inteiros.

Resposta: Os inteiros positivos é representado por Z+ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, …}.

Portanto, Z – Z+ = {x ∈ Z | X ≤ 0} ou Z = {…, -6, -5, -4, -3, -2, -1}

Exercício 3

Encontre o sucessor e o antecessor dos números inteiros a seguir:

a) 26 = antecessor: x – 1 = 26 – 1 = 25

sucessor: x + 1 = 26 + 1 = 27

b) -84 = antecessor: x – 1 = -84 – 1 = -85

sucessor: x + 1 = -84 + 1 = -83

c) 203 = antecessor: x – 1 = 203 – 1 = 202

sucessor: x + 1 = 203 + 1 = 204

d) -3 = antecessor: x – 1 = -3 – 1 = -4

sucessor: x + 1 = -3 + 1 = -2

e) 0 = antecessor: x – 1 = 0 – 1 = -1

sucessor: x + 1 = 0 + 1 = 1

Enfim, agora que você já sabe tudo sobre esse conjunto numérico, aproveite para aprender também sobre os números primos.

Fontes: Toda Matéria, Brasil Escola, InfoEscola, Matemática Básica

Fonte Imagem Destacada: CPB Educacional