No nosso dia a dia, existem diversas situações onde utilizar a função exponencial é bastante propício. Isso porque é possível desenvolver gráficos que usam as funções exponenciais como forma de observar o comportamento de situações do cotidiano, como as questões que envolvem juros compostos.
Na matemática financeira, por exemplo, as funções exponenciais são utilizadas para analisar os juros que incidem sobre determinado produto. Além disso, também podem ser utilizadas para observar a reprodução de cultura de bactérias, bem como se comportam os novos casos da Covid-19.
Todos os exemplos citados são casos que se aproximam de um comportamento exponencial, ou seja, onde há um constante aumento percentual em um período de tempo. Neste caso, a lei de formação da função exponencial é dada pela fórmula: f(x) = ax onde os resultados geram, dependendo do valor da base “a”, um gráfico crescente ou decrescente.
Definição de função exponencial
A função exponencial é definida como aquela onde a variável está no expoente e a base é sempre maior que zero e se difere de um.
Sendo assim, a definição exponencial é formada por: f: ℝ → ℝ*+, onde o domínio é composto por um conjunto de números reais e o contradomínio é o conjunto dos números reais positivos e diferentes de 0.
Outra forma de exemplificar a função do expoente é: f (x) = ax. Neste caso, o “a” representa sempre um número real positivo, como por exemplo, f(x) = 2x e f(x) = 0,3x. Aqui, f(x) representa a variável dependente, que também pode ser representada por y, e a variável independente é representada por x.
Tipos de função
A lei de formação da função exponencial é representada pela fórmula: f(x) = ax onde os resultados geram, dependendo do valor da base “a”, um gráfico crescente ou decrescente.
Sendo assim, a divisão de ambos os casos é bem simples. Na função exponencial crescente, a base sempre será um número maior do que 1 (a > 1). Aqui, vale lembrar que quanto maior o valor de x, maior será o valor de y.
Já a função exponencial decrescente ocorre quando a base é representada por um número maior que 0 e menor que 1 (0 < a < 1). Portanto, quanto maior for o valor de x, menor será o valor de y.
Construção do gráfico exponencial
O gráfico da função exponencial é construído após o valor de x ser encontrado. Neste caso, existem duas opções, o gráfico exponencial crescente e o decrescente. No gráfico crescente, o valor de x sempre vai apresentar um crescimento muito rápido em comparação com a função.
Isso porque o valor de x apresenta números reais positivos e maiores que 0, representando o contradomínio da função. Sendo assim, o gráfico pode se aproximar do eixo x, mas ele não tocará os valores negativos ou igual a 0, já que o domínio da função não pode ser negativo.
Já no gráfico decrescente, a base sempre será menor que 1, ou seja, 0 < a < 1. Apesar de ser decrescente, a forma de construção do gráfico será a mesma utilizada na função crescente, onde o valor de x precisa ser encontrado para que a formação gráfica se complete.
Propriedades da função exponencial
A função exponencial apresenta quatro propriedades específicas, que são delimitadas na formação dos gráficos. A primeira das propriedades exponenciais é: f(0) = 1, onde a base dos números diferentes de 0 elevado a 0 será sempre igual a 1. Por exemplo: f(0) = a0=1.
A segunda propriedade é a injetiva. Isso significa que os valores diferentes de y são acompanhados de um valor x, que faz com o que f(x) seja igual a y. Neste caso, os valores diferentes de x representam uma imagem diferente, ou seja, f(x1) ≠ f(x2) com x1 ≠ x2.
Já a terceira propriedade diz respeito à formação do gráfico exponencial, que pode ser crescente ou decrescente. Como já vimos, um gráfico crescente é composto quando a base for maior que 1 (a > 1) e decrescente quando a base for composta por um número menor que 1 e maior que 0 (0 < a < 1).
Por fim, a quarta propriedade é a definição de que o gráfico que representa a função exponencial nunca pode cortar o eixo x. Isso significa que, por menor que seja o valor da imagem, o gráfico nunca chegará a ser 0. Com isso, existe a possibilidade do gráfico tender a 0, mas não existe valor de x que faça com o que a função seja igual a 0.
O que achou da matéria? Se gostou, confira também qual a História dos números e e o que são Números inteiros.
Fontes: Toda Matéria, Mundo Educação, Brasil Escola e Educa Mais Brasil
Imagens: Dicas de cálculo, Geo Gebra, Dicas de cálculo e Projeto Lúnulas
