Matemática

Racionalização de denominadores – O que é e possíveis racionalizações

A Racionalização de denominadores tem como intuito tornar um denominador irracional em um denominador racional, sem mudar o valor da fração. Entenda.

Atualizado em 02/06/2020

A racionalização de denominadores nada mais é do que um processo que tem a finalidade de transformar uma fração, onde o denominador é um número irracional, em uma fração equivalente, porém com denominador racional. Ou seja, é basicamente transformar um denominador irracional em um número racional, ao mesmo tempo que mantém o valor do número de uma fração.

Para fazer isso, é preciso multiplicar os termos de uma fração por uma expressão radical, à qual chamamos de fator racionalizante. Dessa forma, se alcança uma nova fração de mesmo valor, mas com um denominador radical.

Portanto, a racionalização de denominadores é usada para simplificar os cálculos, justamente porque é mais fácil de executar.

Então, hoje iremos conhecer um pouco mais sobre esse processo. Vamos lá.

Como é feita a racionalização de denominadores?

Para exemplificar como é feita a racionalização de denominadores, vamos utilizar a seguinte fração: .

Como podemos ver, o denominador é um número irracional.

Sendo assim, o próximo passo é multiplicar o numerador e o denominador desta fração por  . Dessa maneira, conseguimos chegar a uma fração equivalente:

 

Portanto, o resultado é a fração equivalente  que possui um denominador racional.

Parece mais difícil na teoria, mas, na prática, é dessa forma que é feita a racionalização de denominadores. Então, como vimos acima, o processo de racionalizar consiste, basicamente, em multiplicar o denominador e o numerador por um mesmo número. Assim, o número escolhido é chamado de conjugado.

Conjugado de um número

Portanto, o conjugado do número irracional é aquele que, ao ser multiplicado pelo irracional, resultará em um número sem raiz. Ou seja, um número racional.

Contudo, é importante lembrar que, no caso de o número ser raiz quadra, o conjugado será igual à própria raiz. Isso porque um número multiplicado por ele mesmo é igual ao número elevado ao quadrado. Portanto, é possível retirar a raiz, e torná-lo um número racional, que é o propósito aqui.

Vamos usar um exemplo onde o conjugado é resultado da raiz quadrada de 2.

Então, como visto anteriormente, o conjugado da raiz de 2 é a própria raiz de dois. Sendo assim:

Racionalizando uma fração

Portanto, para racionalizar uma fração de número irracional, precisamos fazer o seguinte:

  • Primeiro, encontrar o conjugado do denominador. Como vimos, o conjugado deve ser tal que elimine a raiz do denominador;
  • Depois, multiplicar o conjugado em cima e embaixo da fração;
  • E por fim, simplificar a fração equivalente encontrada.

Vejamos alguns exemplos:

Exemplo 1

Fonte: Brasil Escola

Exemplo 2

Fonte: Brasil Escola

Exemplo 3

No caso do denominador ser um radical de índice diferente de 2, ou a soma (ou diferença) de dois termos, é necessário multiplicar o numerador e o denominador da fração por um termo conveniente. Essa é a única forma de desaparecer o radical que se encontra no dominador.

Fonte: Só Matemática

Exemplo 4:

Contudo, quando o denominador é composto por uma adição ou uma subtração envolvendo alguma raiz quadrada, o processo é diferente. Nesses casos, é mais prático utilizar as propriedades do produto da soma pela diferença dos mesmos termos.

Assim, se o denominador envolve uma adição, multiplicaremos a fração pela diferença dos termos no denominador e vice-versa.

Fonte: Brasil Escola

Exemplo 5:

Fonte: Brasil Escola

E então, o que achou dessa matéria? Agora que já sabe como fazer a racionalização de denominadores, que tal aprender sobre os números racionais?

Fontes: Toda Matéria, Brasil Escola, Só Matemática

Fonte Imagem Destaque: Wiki How