Os produtos notáveis são multiplicações onde os fatores são polinômios, ou seja, expressões algébricas formadas por adição de monômios. Os monômios, por sua vez, são expressões que possuem multiplicação formadas por fatores com números reais e números desconhecidos.
Nesse sentido, é de extrema importância entender o que significa expressão algébrica, já que em muitos casos os produtos notáveis são utilizados para tornar a fatoração mais simplificada.
De modo geral, existem cinco tipos de produtos notáveis que merecem maior destaque, sendo eles: quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença. Cada tipo de produto possui uma propriedade específica.
Propriedades dos produtos notáveis
Em síntese, os produtos notáveis são utilizados de diversas formas em cálculos matemáticos, sendo expressões algébricas bastante úteis em equações de primeiro e de segundo grau.
Porém, antes de entender quais são as propriedades dos produtos notáveis, é interessante se atentar a alguns conceitos. Por exemplo:
- quadrado: elevado a dois.
- cubo: elevado a três.
- diferença: subtração.
- produto: multiplicação.
Nesse sentido, vamos destacar cinco produtos notáveis mais relevantes: o quadrado da soma, quadrado da diferença, produto da soma pela diferença, cubo da soma e cubo da diferença.
Quadrado da soma
Basicamente, os produtos notáveis no quadrado da soma englobam dois termos, onde são representados pela seguinte expressão algébrica: (a + b)2 = (a + b) . (a + b).
Dessa forma, ao aplicarmos a propriedade distributiva, temos que: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2.
Neste caso, a soma do quadrado do primeiro termo é igual ao dobro do primeiro termo, mais o primeiro e o segundo termo, e por fim, somado ao quadrado do segundo termo.
Quadrado da diferença
No quadrado da diferença de dois termos utilizamos a equação: (a – b)2 = (a – b) . (a – b).
Então, após aplicar a propriedade distributiva, temos que: (a – b)2 = a2 – 2ab + b2
Portanto, os produtos notáveis desta equação algébrica representam o quadrado do primeiro termo subtraído pelo quadrado do segundo termo, que é igual ao quadrado do primeiro termo, somado ao quadrado do segundo termo.
Nesse sentido, o que difere os produtos notáveis da soma e da diferença é um sinal negativo no termo do meio, no exemplo do quadrado da diferença.
Produto da soma pela diferença
Neste caso, os produtos notáveis da soma pela diferença são aqueles em que existe a presença de uma fator com uma soma e outro fator com uma subtração. Por exemplo: (x + a)(x – a).
No produto da soma pela diferença, não existe representação em forma de potência, assim como nos outros exemplos. Porém, para resolver os cálculos matemáticos, esta propriedade possui a seguinte expressão: (x + a)(x – a) = x2 – a2.
Produtos notáveis – cubo da soma
Os produtos notáveis do cubo da soma de dois termos são representados pela seguinte equação: (a + b)3 = (a + b) . (a + b) . (a + b).
Para simplificar, aplicamos a propriedade distributiva e, então, a equação fica: a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.
Ou seja, nesta propriedade temos que o cubo do primeiro termo é somado ao triplo do produto do quadrado do primeiro termo e o triplo do produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo termo, mais a soma do cubo do segundo termo.
Cubo da diferença
Em síntese, no cubo da diferença de dois termos, os produtos notáveis podem ser representados pela seguinte expressão: (a – b)3 = (a – b) . (a – b) . (a – b).
Portanto, aplicando a propriedade distributiva, temos: a3 – 3a2b + 3ab2 – b3. Logo, o cubo do primeiro termo é subtraído pela soma do triplo do primeiro e segundo termo ao quadrado, e por fim, subtraído pelo cubo do segundo termo.
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Fontes: Brasil Escola, Brasil Escola, Toda Matéria e Mundo Educação
Imagens: Matreemática, Estudo Prático e Resumo Escolar
