Matemática

Paralelepípedo – O que é, classificação e fórmulas geométricas

Os paralelepípedos são sólidos geométricos tridimensionais que pertencem ao conjunto dos prismas. Conheça mais sobre essa forma geométrica.

Atualizado em 16/05/2020

Um paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional que faz parte do conjunto dos prismas. Sendo assim, para que um prisma seja considerado um paralelepípedo, é necessário que suas bases sejam paralelogramos (polígono de quatro faces).

Dessa forma, eles são sólidos geométricos formados por um conjunto de seguimentos de reta, paralelos a uma reta, onde suas extremidades ficam em um paralelogramo e em um plano paralelo. E podem ser definidos de três maneiras:

  • É um prisma em que sua base é um paralelogramo;
  • É um hexaedro em que cada face seja um paralelogramo;
  • É um hexaedro com três pares de faces paralelas.

Portanto, hoje vamos entender o que é um paralelepípedo e conhecer suas fórmulas geométricas. Confira.

Elementos de um Paralelepípedo

Primeiramente, um paralelepípedo é formado por faces, vértices e arestas, como várias outras formas geométricas.  Portanto, ele conta com:

  • Faces: possui 6 faces, ou seja, possui 6 lados formados pela união das arestas;
  • Vértices: possui 8 vértices, isto é, possui 8 pontos onde as arestas se encontram;
  • Arestas: possui 12 arestas, ou seja, possui 12 segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.

Observe o exemplo abaixo:

Classificação do Paralelepípedo

Sendo assim, eles são classificados conforme a perpendicularidade de suas arestas em ralação a base. Portanto, temos dois tipos de paralelepípedos, sendo eles:

  • Paralelepípedos Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo. Contudo, um caso especial do sólido retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares.

  • Paralelepípedos Oblíquos: são aqueles no qual as faces laterais não formam ângulos retos, mas sim perpendiculares.

Planificação do Paralelepípedo

Como visto anteriormente, um paralelepípedo é um sólido geométrico. Em outras palavras, uma figura com três dimensões: altura, largura e comprimento.

Sendo assim, todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas, como veremos na imagem abaixo que exemplifica a planificação de um paralelepípedo reto:

Contudo, embora na imagem as bases e faces sejam formadas por retângulos, também podem ter paralelepípedos formados por bases quadradas.

Fórmulas do Paralelepípedo

Um paralelepípedo é calculado de acordo com a sua área, volume e diagonal, como veremos nas fórmulas abaixo:

Área da Base

Como a base é formada por uma figura geométrica plana, para calcular sua área, é necessário multiplicar a base pela altura da figura.

Sendo assim, temos a seguinte fórmula:

Ab = b . h

Onde:

  • Ab: é a área;
  • b: é a medida da base;
  • h: é a medida da altura.

Área Lateral

Já o cálculo da área lateral deve ser feito baseado nas quatro faces laterais que formam pares. Então, usamos a seguinte fórmula:

  • Al = ac + bc + ac + bc ⇒
  • Al = 2ac + 2bc ⇒
  • Al = 2(ac + bc)

Onde:

  • Al: é a área;
  • a, b e c: são as medidas das arestas.

Área Total

Contudo, para calcular a área total é preciso observar a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Desse modo, temos a seguinte fórmula:

At = 2(ab + ac + bc)

Onde:

  • At: é a área;
  • a, b e c: são as medidas das arestas.

Volume do Paralelepípedo

Para calcular o volume  de um paralelepípedo é preciso seguir o mesmo processo do volume do cubo. Ou seja, calcular o produto do comprimento, da largura e da altura. Vejamos a fórmula do cálculo:

V = a . b . c

Onde:

  • V: é o volume;
  • a, b e c: são as medidas das arestas.

Portanto, é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.

Diagonal do Paralelepípedo

Seja ABCDEFGH um paralelepípedo retângulo qualquer.  Então, considere que x é a medida de seu comprimento, y é a medida de sua largura e z é a medida de sua altura, assim como na figura abaixo:

Desse modo, a diagonal do paralelepípedo pode ser encontrada por meio da fórmula:

d2 = x2 + y2 + z2

d = √(x2 + y2 + z2)

Exercícios

Por fim, agora que já vimos o que é um paralelepípedo, suas classificações, e fórmulas, vamos a alguns exercícios:

Exercício 1

(Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.

Portanto, analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:

a) 5 cm

b) 6 cm

c) 12 cm

d) 24 cm

e) 25 cm

Resposta: Letra B

Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo, ou seja:

V = a.b.cV = 3.18.4V = 216 cm3

Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a, onde “a” corresponde as arestas da figura, assim sendo:

a3 = 216a = 3√216a = 6cm

Exercício 2

Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de 7 m e largura de 4 m e altura de 2 m. Sendo assim, calcule:

a) A área da base

b) A área lateral

c) A área total

d) O volume de água da caixa

Resposta:

a) A área da base desta caixa é calculada pela fórmula do retângulo, pois a base da caixa é retangular: Ab= b . h = 7 x 4 = 28 m²

b) A área da lateral de um paralelepípedo é calculada pela fórmula: Al= 2(ac + bc). Sendo assim, fica: (7 x 2) + (4 x 2) = 14 + 8 = 22 m²

c) A área total do paralelepípedo é: At= 2(ab + ac + bc) = (7 x 4) + (7 x 2) + (4 x 2) = 28 + 14 + 8 = 50 m²

d) O volume de um paralelepípedo é: V = a . b . c = 7 x 4 x 2 = 56 m³

Enfim, agora que você já aprendeu muito sobre o assunto, que tal conhecer mais sobre o cilindro?

Fontes: Matemática Básica, Toda Matéria, Brasil Escola

Fonte Imagem Destaque: O Globo