Um paralelepípedo é um sólido geométrico tridimensional que faz parte do conjunto dos prismas. Sendo assim, para que um prisma seja considerado um paralelepípedo, é necessário que suas bases sejam paralelogramos (polígono de quatro faces).
Dessa forma, eles são sólidos geométricos formados por um conjunto de seguimentos de reta, paralelos a uma reta, onde suas extremidades ficam em um paralelogramo e em um plano paralelo. Assim, paralelepídedos são prismas cuja base é um paralelogramo, além de ser um hexaedro com faces paralelas e em formato de paralelogramo.
Portanto, hoje vamos entender o que é um paralelepípedo e conhecer suas fórmulas geométricas. Confira.
Elementos do paralelepípedo
Primeiramente, um paralelepípedo é formado por faces, vértices e arestas, como várias outras formas geométricas. Portanto, ele conta com:
- Faces: possui 6 faces, ou seja, possui 6 lados formados pela união das arestas;
- Vértices: possui 8 vértices, isto é, possui 8 pontos onde as arestas se encontram;
- Arestas: possui 12 arestas, ou seja, possui 12 segmentos de retas ligadas nos vértices que formam as faces.
Observe o exemplo abaixo:
Classificação
Sendo assim, eles são classificados conforme a perpendicularidade de suas arestas em ralação a base. Portanto, temos dois tipos de paralelepípedos, sendo eles:
- Paralelepípedos Retos: é quando as faces laterais são perpendiculares, ou seja, as arestas formam ângulos retos (90°) com as bases. Dessa forma, é chamado também de paralelepípedo retângulo. Contudo, um caso especial do sólido retângulo é o cubo, figura geométrica com seis faces quadrangulares.
- Paralelepípedos Oblíquos: são aqueles no qual as faces laterais não formam ângulos retos, mas sim perpendiculares.
Planificação
Como visto anteriormente, um paralelepípedo é um sólido geométrico. Em outras palavras, uma figura com três dimensões: altura, largura e comprimento.
Sendo assim, todos os sólidos geométricos são formados pela união de figuras planas, como veremos na imagem abaixo que exemplifica a planificação de um paralelepípedo reto:
Contudo, embora na imagem as bases e faces sejam formadas por retângulos, também podem ter paralelepípedos formados por bases quadradas.
Fórmulas do paralelepípedo
Um paralelepípedo é calculado de acordo com a sua área, volume e diagonal, como veremos nas fórmulas abaixo:
Área da Base
Como a base é formada por uma figura geométrica plana, para calcular sua área, é necessário multiplicar a base pela altura da figura.
Sendo assim, temos a seguinte fórmula:
Ab = b . h
Onde:
- Ab: é a área;
- b: é a medida da base;
- h: é a medida da altura.
Área Lateral
Já o cálculo da área lateral deve ser feito baseado nas quatro faces laterais que formam pares. Então, usamos a seguinte fórmula:
- Al = ac + bc + ac + bc ⇒
- Al = 2(ac + bc)
Onde:
- Al: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Área Total
Contudo, para calcular a área total é preciso observar a figura planificada do paralelepípedo. Assim, a área total é a soma dos pares das faces opostas. Desse modo, temos a seguinte fórmula:
At = 2(ab + ac + bc)
Onde:
- At: é a área;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Volume do Paralelepípedo
Para calcular o volume de um paralelepípedo é preciso seguir o mesmo processo do volume do cubo. Ou seja, calcular o produto do comprimento, da largura e da altura. Vejamos a fórmula do cálculo:
V = a . b . c
Onde:
- V: é o volume;
- a, b e c: são as medidas das arestas.
Portanto, é equivalente dizer que o volume é a medida da área da base pela altura.
Diagonal do Paralelepípedo
Seja ABCDEFGH um paralelepípedo retângulo qualquer. Então, considere que x é a medida de seu comprimento, y é a medida de sua largura e z é a medida de sua altura, assim como na figura abaixo:
Desse modo, a diagonal do paralelepípedo pode ser encontrada por meio da fórmula:
d2 = x2 + y2 + z2
d = √(x2 + y2 + z2)
Exercícios
Por fim, agora que já vimos o que é um paralelepípedo, suas classificações, e fórmulas, vamos a alguns exercícios:
Exercício 1
(Enem 2010) Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Portanto, analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
a) 5 cm
b) 6 cm
c) 12 cm
d) 24 cm
e) 25 cm
Resposta: Letra B
Para encontrar o volume da barra de chocolate aplica-se a fórmula do volume do paralelepípedo, ou seja:
V = a.b.cV = 3.18.4V = 216 cm3
Já o volume do cubo é calculado pela fórmula: V = a3 , onde “a” corresponde as arestas da figura, assim sendo:
a3 = 216a = 3√216a = 6cm
Exercício 2
Considere uma caixa de água com formato de um paralelepípedo reto retângulo totalmente cheia, com comprimento de 7 m e largura de 4 m e altura de 2 m. Sendo assim, calcule:
a) A área da base
b) A área lateral
c) A área total
d) O volume de água da caixa
Resposta:
a) A área da base desta caixa é calculada pela fórmula do retângulo, pois a base da caixa é retangular: Ab= b . h = 7 x 4 = 28 m²
b) A área da lateral de um paralelepípedo é calculada pela fórmula: Al= 2(ac + bc). Sendo assim, fica: (7 x 2) + (4 x 2) = 14 + 8 = 22 m²
c) A área total do paralelepípedo é: At= 2(ab + ac + bc) = (7 x 4) + (7 x 2) + (4 x 2) = 28 + 14 + 8 = 50 m²
d) O volume de um paralelepípedo é: V = a . b . c = 7 x 4 x 2 = 56 m³
Enfim, agora que você já aprendeu muito sobre o assunto, que tal conhecer mais sobre o cilindro?
Fontes: Matemática Básica, Toda Matéria, Brasil Escola
Fonte Imagem Destaque: O Globo
otima explicação