Operações com conjuntos – Representação e os tipos

As operações com conjuntos são o que o próprio nome indica: operações matemáticas feitas a partir de vários elementos que constituem um grupo. Assim sendo, temos, união de conjuntos, intersecção de conjuntos, diferença entre conjuntos e conjunto complementar.

A operação por sua vez, é definida como qualquer processo realizado com uma quantidade x de elementos que seguem uma mesma lógica. Como os números, que formam os  conjuntos numéricos.

Sendo assim, temos:

• Números Naturais (N)
• Números Inteiros (Z)
• Números Racionais (Q)
• Números Irracionais (I)
• Números Reais (R)

Apesar de que, além dos conjuntos numéricos, existem também os conjuntos não numéricos, como por exemplo, o conjunto de letras do alfabeto: L = {a, b, c, d, e, f, g, h … x, y e z}

Por isso, hoje iremos aprender tudo sobre os conjuntos e as operações dos conjuntos. Enfim, vamos lá!

Representação dos conjuntos

Primeiramente vamos entender como se da a representação dos conjuntos, que aqui pode ser feita de três formas. A primeira, pode ser por nomeação de elementos. Como o conjunto de cores primárias: C = {vermelho, amarelo e azul}.

A segunda por compreensão, nesse caso, a representação é definida por uma característica comum a todos elementos do conjunto. Como por exemplo: C = {cores primárias}.

E por último, pelo diagrama de Venn, que é definido a partir de coleções de curvas fechadas no interior de um plano onde nas curvas encontram-se os elementos. Desse modo, teríamos o conjunto dos números primários: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}

Operações com conjuntos

Além disso, agora que você já sabe sobre as representações, precisamos conhecer alguns símbolos necessários para aplicar a relação entre o os elementos nas operações com conjuntos.

Vejamos quais são esses símbolos:

Assim que, a partir dos símbolos chegamos as seguintes operações:

Sendo assim, agora que já entendemos o que é um conjunto e quais são os símbolos usados, seguimos para os tipos de operações com conjuntos.

União de conjuntos

A união de conjuntos nada mais é do que a junção de elementos de um conjunto com elementos de outros conjuntos, formando assim um conjunto maior. Assim, quando houver elementos que se repetem em mais de um conjunto, eles serão mencionados uma única vez no conjunto união.

Portanto, a união de conjuntos é bastante simples, basta juntar os elementos de A com os de B e representar a união com o símbolo U.

Vejamos um exemplo:

Dados os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, represente o conjunto união (A U B).

Desse modo, o conjunto união será:

(A U B) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

Intersecção de conjuntos

Já a interseção ou intersecção de conjuntos, é um conjunto de elementos que pertencem a dois ou mais conjuntos ao mesmo tempo. Assim, essa operação com conjunto é representada pelo símbolo ∩.

Segue o exemplo:

Dados os conjuntos A = {0, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, represente o conjunto intersecção (A ∩ B).

Nesse caso devemos encontrar os elementos em comum nos dois conjuntos. Portanto, o conjunto intersecção ficará: (A ∩ B) = {0, 2, 4, 6}

Contudo, é importante pontuar que o conjunto que não possui nenhum elemento é chamado de conjunto vazio. Sendo assim,  ele pode ser represento de duas formas: A = { } ou A = Ø.

Então, quando for o caso de dois conjuntos não apresentarem elementos em comum, a intersecção entre eles será um conjunto vazio. Portanto, esses conjuntos são chamados de disjuntos: A ∩ B = Ø

Diferença entre conjuntos

Seguindo a mesma lógica, a diferença entre conjuntos se refere aos elementos presentes em um conjunto e que não estão no outro. Então, a diferença entre A e B, será definida pelos elementos que pertencem a A e não pertencem a B.

Assim,  o conjunto diferença é representado por A – B (lê-se A menos B).

Confira o exemplo:

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 6, 7}. Agora, identifique quais elementos encontrados no conjunto A, que não estão no conjunto B.

Como resultado, a diferença entre conjuntos será: (A – B) = {5}

Conjuntos complementares

Por fim, a operação de conjuntos complementares, que está relacionada diretamente com a diferença entre conjuntos. Desse modo, considere os conjuntos A e B, onde a diferença de de B e A, é o conjunto de elementos de B que não se encontram no conjunto A.

Ou seja, a diferença entre os conjuntos, B – A, é chamada de complementar de A em relação a B, e vice e versa.

Bem como, no exemplo a seguir:

Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}.

Sendo assim, o complementar de A em relação a B

é: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} – {0, 1, 2, 3, 4, 5} = {6, 7, 8, 9, 10}

Propriedades da União e da Intersecção

Quando se tem três conjuntos, A, B e C, temos as seguintes propriedades:

Propriedade comutativa

Propriedade associativa

Propriedade distributiva

Se A está contido em B:

Por último, agora que já entendemos os conceitos básicos das operações com conjuntos, que tal colocar em prática o que aprendeu com alguns exercícios? Vamos lá.

Exercícios

Exercício 1:

Considere os conjuntos A = {a, b, c, d, e, f} e B ={d, e, f, g, h, i}. Determine (A – B) U (B – A).

Solução:

Inicialmente determinaremos os conjuntos A – B e B – A e, em seguida, realizaremos a união entre eles.

A – B = {a, b, c, d, e, f} – {d, e, f, g, h, i}

A – B = {a, b, c}

B – A = {d, e, f, g, h, i} – {a, b, c, d, e, f}

B – A = {g, h, i}

Sendo assim, (A – B) U (B – A) é:

{a, b, c} U {g, h, i}

{a, b, c, g, h, i}

Exercício 2:

Suponhamos que A U B = {a, b, c, d, e, f, g, h}, A ∩ B = {d, e} e A – B = {a, b, c}, então:

a) B = {f, g, h}

b) B = {d, e, f, g, h}

c) B = { }

d) B = {d, e}

e) B = {a, b, c, d, e}

Solução:

Alternativa B.

Nesse sentido, dispondo os elementos no diagrama de Venn-Euler, segundo o enunciado, temos:

Portanto, o conjunto B = {d, e, f, g, h}.

Enfim, o que você achou dessa matéria? Que tal conhecer mais sobre o tema? Aliás falamos sobre os conjuntos números aqui.

Fontes: Brasil Escola, Toda Matéria, Educa Mais Brasil

Fonte das expressões numéricas: Toda Matéria

Fonte Imagem Destaque: Estudo Kids