Matemática

Tangente – Definição, gráfico da função, tabela e lei das tangentes

A tangente é uma das três razões da trigonometria, a qual consiste na razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente em um ângulo de um triângulo retângulo. Entenda.

Atualizado em 02/06/2020

A trigonometria é o campo da matemática que estuda os lados e os ângulos de um triângulo. Portanto, as funções trigonométricas referem-se aos triângulos retângulo, sendo elas: seno, cosseno e tangente.

Desse modo, o cosseno consiste na divisão entre cateto adjacente e a hipotenusa, enquanto o seno é a razão entre o cateto oposto e a hipotenusa. E por último, a tangente, que é nosso foco aqui, que diz respeito à divisão entre os catetos.

Então, entendemos a tangente como uma função trigonométrica que é calculada a partir da divisão entre os catetos opostos e adjacentes de um triângulo retângulo.

Para entender isso melhor, vamos nos aprofundar no que é tangente, e as suas leis.

Tangente de um ângulo

Como já explicamos, tangente é uma uma função trigonométrica periódica alcançada por meio da razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um triângulo retângulo.

No entanto, essa relação depende de cada ângulo considerado no contexto.  No exemplo abaixo, vamos considerar o ângulo α:

Triangulo retângulo.
Fonte: InfoEscola

Portanto, de acordo figura, chegamos à conclusão de que:

tg (a) = (cateto oposto a α)/(cateto adjacente a α)

tg (a) = AB/AC

tg (a) = C/B

Obs.1: A tangente de um ângulo agudo pode ser definida como a razão entre o seno deste ângulo e o seu cosseno. Sendo assim:

Fonte: Só Matemática

Obs.2: A tangente de um ângulo agudo é um número real positivo.

Obs.3: O seno e o cosseno de um ângulo agudo são sempre números reais positivos menores que 1, pois qualquer cateto é sempre menor que a hipotenusa.

Tangente dos ângulos notáveis

Na trigonometria, os valores das funções trigonométricas de cada ângulo podem ser encontradas em uma tabela ou podem ser calculados em uma calculadora científica. Por esse motivo, é importante saber os valores dos ângulos notáveis.

Por ângulos notáveis entendemos aqueles que são calculados facilmente, como: 30°, 45° e 60°.

Sendo assim, temos os seguintes valores:

Tabela dos ângulos notáveis.
Fonte: Guia Estudo

Função tangente

A função tangente é definida da seguinte forma:

Fonte: Guia Estudo

Desse modo, de acordo com o círculo trigonométrico, temos:

Círculo trigonométrico.
Fonte: InfoEscola

Portanto, para encontrar a tangente, é importante considerar as seguintes características:

  • A função tem imagem Real, ou seja, é válida para todo x real.
  • Ela é um ângulo e sempre estará paralela ao eixo das ordenadas (y);
  • Os quadrantes ímpares (1° e 3°) sempre terão valores positivos;
  • Os quadrantes pares (2° e 4°) sempre terão valores negativos;

Gráfico da função tangente

Assim, o gráfico da função pode ser entendido com base nessa tabela:

Tabela da função tangente.
Fonte: Guia Estudo

Portanto, o gráfico da função fica desta maneira:

Gráfico da função tangente.
Fonte: Guia Estudo

De acordo com o gráfico, as retas onde a função não existe são chamadas de assíntotas.

Ou seja, X = π/2 + kπ  são assíntotas.

Lei das tangentes

Por fim, agora que já sabemos como funciona a relação entre as tangentes de dois ângulos de um triângulo, vamos conhecer as suas leis:

  • De acordo com a lei das tangentes, considere a, b e c os comprimentos dos três lados do triângulo. E α, β e Y os ângulos opostos a estes referidos lados. Sendo assim:

  • Para os triângulos que não sejam isósceles, a lei das tangentes estabelece ainda as seguintes relações:

  • E por último, de acordo com a lei dos senos, podemos demonstrar a lei das tangentes da seguinte forma:

Exercício

Então, agora que você já foi apresentando aos principais conceitos de tangente, vamos a alguns exercícios:

Exemplo 1:

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que tg(30°)= 3/ √3.

Tangente – Definição, gráfico da função, tabela e Lei das tangentes
Fonte: Info Escola

Sendo assim, chegamos ao seguinte resultado:

tg(30°) = 6/ x

3/ √3 = 6/ x

x/ √3 = 18

x = 18/ √3 . √3 / √3 = 18√3/ 3

x = 6√3

Exercício 2

Em um triângulo retângulo a hipotenusa mede 10 e seus catetos medem 6 e 8. A tangente de α mede?

Fonte: InfoEscola

De acordo com a imagem, nós temos os três lados do triangulo, desse modo:

tg (α) = (cateto oposto a α)/(cateto adjacente a α)

tg (α) = 6/8

tg (α) = 0,75

Enfim, é muito importante saber dessas relações da trigonometria. Depois de ter estudado tangente, em seguida estude também sobre raízes exatas.

Fontes: InfoEscola, Educa Mais Brasil, Só Matemática

Fonte das expressões numéricas: Guia Estudo

Fonte Imagem Destaque: Pinterest