Algumas questões matemáticas podem causar arrepios, não é? Mas você já parou para pensar que todas as contas dependem de fórmulas ou alguma expressão numérica que tornam os cálculos mais fácies? Pois bem, uma das sequências numéricas existentes na matemática são as progressões geométricas.
Mas afinal, o que significa isso? Uma progressão geométrica é uma sequência em que, a partir do segundo número, a razão entre os termos será igual ao do termo anterior. Ou seja, em um PG existe uma constante q denominada de razão. Assim, a progressão geométrica é o resultado da multiplicação da razão pelo número anterior da sequência numérica.
Visto isso, a razão da progressão geométrica será responsável pelo resultado do próximo número numa sequência. Assim, a multiplicação do quociente q e o número da sequência numérica, a partir do segundo, será sempre igual. Além disso, a razão de uma progressão geométrica será sempre um número racional. Ou seja, pode ser um número positivo, negativo, frações e etc.
Classificação das Progressões Geométricas
Para que os cálculos de uma progressão geométrica sejam feitos é necessário utilizar a seguinte fórmula: an = a1⋅qn−1. Nesse sentido, n representa o número do termo da sequência; a1 se refere ao termo inicial e q é a razão.
De modo geral, uma progressão geométrica pode ser classificada de quatro maneiras. Assim, podemos encontrar PG crescente, decrescente, oscilante e constante. Visto isso, vale lembrar que as progressões geométricas negativas também são chamadas de alternadas devido à alternância que ocorre entre os termos positivos e negativos.
Nesse sentido, temos uma progressão geométrica crescente quando o termo da sequência é maior que o outro. Assim, o termo da sequência deve necessariamente ser maior que zero, assim como a razão. Isso também ocorre caso a progressão seja negativa. Neste caso, o termo precisa ser menor que zero, assim como a razão. Observe os exemplos:
- (4, 8, 16, 32…) – progressão geométrica crescente com razão q = 2;
- (-4, -2, -1, −12…) – progressão geométrica decrescente com razão q = 12.
PG constante e oscilante
Uma progressão geométrica é denominada constante quando os termos da sequência numérica são iguais. Isso ocorre quando a razão é igual a 1 ou quando a razão não é determinada, sendo 0. Quando a razão não é determinada, ela se torna nula. Observe:
- (8, 8, 8, 8…) é uma PG constante de razão q = 1.
- (0, 0, 0, 0…) é uma PG constante de razão indeterminada.
Por outro lado, progressões geométricas são oscilantes quando os termos são diferentes de zero e dentro da sequência existe sinais positivos e negativos. Assim, o termo deve ser diferente de zero e a razão menor que zero. Observe:
- (3, -6, 12, -24, 48, -96…) é uma PG oscilante de razão q = -2.
- (-1, 1/2, −1/4, 1/8, −1/16…) é uma PG oscilante de razão q = −1/2.
Além disso, existem casos em que uma progressão geométrica é quase nula. Isso acontece quando o primeiro termo da sequência é diferente de zero e os de mais termos são iguais a zero, como nesse exemplo: (8, 0, 0, 0, 0…) é uma P.G. quase nula.
Soma dos Termos da PG
Caso os termos de uma progressão geométrica necessitem ser calculados, existe uma fórmula que deve ser utilizada, sendo ela:
Sn = a¹(qn – 1) / q – 1
Nesse sentido, o sn representa a soma dos números da PG, que é o que queremos descobrir. Em seguida, temos o primeiro termo da sequência, a1; q se refere à razão e n é a quantidade de elementos que a progressão geométrica possui.
Assim, observe como seria o cálculo na prática calculando a soma dos 10 primeiros termos da seguinte PG (1,2,4,8,16, 32,…):
S10 = 1(2¹⁰ – 1) / 2 – 1
S10 = 1023
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Fontes: Educação, Toda Matéria e Info Escola
Fonte imagem destaque: Matemática Básica
