Conjuntos numéricos: naturais, inteiros, racionais, irracionais e reais

Os conjuntos numéricos são grupos de números que têm as mesmas características.

Sendo que o ramo da matemática que estuda os conjuntos numéricos é a Teoria dos conjuntos. Enfim, os conjuntos numéricos são formados pelos números:

• Naturais

• Inteiros

• Racionais

• Irracionais

• Reais

Quais são os conjuntos numéricos?

Os conjuntos numéricos são:

1- Conjunto dos números naturais (N)

Primeiramente, a letra N representa o conjunto dos números naturais. Em resumo, esse conjunto engloba os números usados para contar. Sendo assim, ele vai do zero até o infinito.

Subconjunto dos números naturais

• N* é o conjunto de números naturais não-nulos, isto é, sem o zero. Sendo que N* = N – {0} ou {1, 2, 3, 4, 5…, n, …}.

• N_p é o conjunto dos números naturais pares. Desse modo, N_p = {0, 2, 4, 6, 8…, 2n, …}, em que n ∈ N.

• N_i = {1, 3, 5, 7, 9…, 2n+1, …}, em que n ∈ N: trata-se do conjunto dos números naturais ímpares.

• P = {2, 3, 5, 7, 11, 13, …}: Por fim, este é o conjunto dos números naturais primos.

2- Conjunto dos números inteiros (Z)

A letra Z representa o conjunto de números inteiros. Em síntese, nesse grupo reúne os elementos dos números naturais (N) e seus opostos. Dessa forma, o N é um subconjunto de Z (N ⊂ Z).

Subconjunto dos números inteiros

• Z* = {…, –4, –3, –2, –1, 1, 2, 3, 4, …} ou Z* = Z – {0}. Este é o conjunto dos números inteiros não-nulos, ou seja, sem o zero.

• Z₊ = {0, 1, 2, 3, 4, 5, …}. É o conjunto dos números inteiros e não-negativos. Observe que Z₊ = N.

• Z^*₊ = {1, 2, 3, 4, 5, …}. É o conjunto dos números inteiros positivos e sem o zero.

• Z _– = {…, –5, –4, –3, –2, –1, 0}. Trata-se do conjunto dos números inteiros não-positivos.

• Z^*_– = {…, –5, –4, –3, –2, –1}. Este é o conjunto dos números inteiros negativos e sem o zero.

3- Conjunto dos números racionais (Q)

Q = {0, ±1, ±1/2, ±1/3, …, ±2, ±2/3, ±2/5, …, ±3, ±3/2, ±3/4, …}. Portanto, Z é um subconjunto de Q. Sendo que todo número inteiro é também número racional.

Um detalhe importante é que as dízimas periódicas são números racionais. Isso porque, elas são números decimais que se repetem após a vírgula, por exemplo: 1,4444444444…

No entanto, apesar de terem infinitas casas decimais, pode ser escrito como a fração 13/9.

Subconjunto dos números racionais

• Q* é o subconjunto dos números racionais não-nulos. Ele é formado pelos números racionais sem o zero.

• Q₊ é o subconjunto dos números racionais não-negativos. Ele é formado pelos números racionais positivos e o zero.

• Q^*₊ Este é um subconjunto dos números racionais positivos, sendo formado pelos números racionais positivos, sem o zero.

• Q_– é um subconjunto dos números racionais não-positivos. Ele é formado pelos números racionais negativos e o zero.

• Q*_– Por fim, este é um subconjunto dos números racionais negativos. Sendo que ele é formado por números racionais negativos, sem o zero.

4- Conjunto dos números irracionais (I)

O conjunto dos números irracionais é representado pela letra I.

Em resumo, esse conjunto reúne os números decimais não exatos com uma representação infinita e não periódica, por exemplo: 3,141592… ou 1,203040…

5- Conjunto dos números reais (R)

A letra R representa o conjunto dos números reais. Dessa forma, sse conjunto é formado pelos números racionais (Q) e irracionais (I). Portanto, temos que R = Q ∪ I. Além disso, N, Z, Q e I são subconjuntos de R.

Contudo, note que se um número real é racional, ele não pode ser também irracional. Da mesma maneira, se ele é irracional, não é racional.

Subconjunto dos números reais

• R^*= {x ∈ R│x ≠ 0} é o conjunto dos números reais não-nulos.

• R₊ = {x ∈ R│x ≥ 0} trata-se do conjunto dos números reais não-negativos.

• R^*₊ = {x ∈ R│x > 0} é o conjunto dos números reais positivos.

• R_– = {x ∈ R│x ≤ 0} este é o conjunto dos números reais não-positivos.

• R^*_– = {x ∈ R│x < 0} por fim, este é o conjunto dos números reais negativos.

Quais são as propriedades dos conjuntos numéricos?

Para ficar mais fácil o estudo dos conjuntos numéricos, confira abaixo as suas propriedades:

• Primeiramente, o conjunto dos números naturais (N) é um subconjunto dos números inteiros: Z (N ⊂ Z).

• Já o conjunto dos números racionais (Q) é um subconjunto dos números reais (R).

• Por outro lado, o conjunto dos números inteiros (Z) é um subconjunto dos números racionais: (Z ⊂ Q).

• Por fim, os conjuntos dos números naturais (N), inteiros (Z), racionais (Q) e irracionais (I) são subconjuntos dos números reais (R).

Intervalos numéricos

Existe um subconjunto ligados aos números reais que são chamados de intervalos. Sejam a e b números reais e a < b, temos os intervalos reais abaixo:

• Intervalo aberto à esquerda (ou fechado à direita) de extremos: ]a,b] = {x ∈ R│a < x ≤ b}

• Intervalo aberto de extremos: ]a,b[ = {x ∈ R│a < x < b}

• Intervalo fechado de extremos: [a,b] = {x ∈ R│a ≤ x ≤ b}

• Intervalo aberto à direita (ou fechado à esquerda) de extremos: [a,b[ = {x ∈ R│a ≤ x < b}

Exercícios resolvidos

Por fim, teste os seus conhecimentos com as questões abaixo:

UEL-PR

Observe os seguintes números:

I. 2,212121…
II. 3,212223…
III. π/5
IV. 3,1416
V. √– 4

Assinale a alternativa que identifica os números irracionais:

a) I e II.
b) I e IV.
c) II e III.
d) II e V.
e) III e V.

UFOP-MG

A respeito dos números a = 0,499999… e b = 0,5, é correto afirmar:

a) b = a + 0,011111
b) a = b
c) a é irracional e b é racional
d) a < b

Gabarito sobre conjuntos numéricos

UEL-PR: O certo é a opção c).

UFOP-MG: O correto é a opção b).

Fontes: Brasil Escola, Toda matéria, Beduka e, por fim, Info Escola.