Matemática

Progressões Aritméticas – O que são, fórmulas e maneiras de calcular

Progressões aritméticas são uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é igual à soma do termo anterior com uma constante

Atualizado em 11/02/2020

A matemática está cheia de regras e fórmulas para tornar os cálculos, de certa forma, mais simples. As progressões aritméticas são um exemplo de sequência numérica bastante utilizada. Assim, são formadas por números em que, a partir do segundo elemento, cada termo será o resultado da soma com o número anterior.

Dessa forma, dentro de uma progressão aritmética o número que vem após o outro é resultado da soma do número que o antecede. Esse número recebe o nome de constante. Assim, podemos observar a definição no exemplo (5,7,9,11,13,15,17). Logo, o valor da constante é 2.

Em síntese, a constante dentro de uma progressão aritmética também recebe o nome de razão. Utilizamos a letra r para representar a razão. Dessa forma, as progressões aritméticas podem ser classificadas de três formas, sendo crescentes, constantes ou decrescentes.

Progressões Aritméticas

Em síntese, as progressões aritméticas podem ser crescentes, constantes ou decrescentes como já falamos aqui.

Progressões Aritméticas - O que são, fórmulas e maneiras de calcular
Fonte: Casa da matemática

Assim, para que a divisão dos tipos de progressões seja feita basta observar a seguinte regra:

  • Progressão aritmética crescente: r será maior que 0 e os elementos estarão em ordem crescente;
  • Progressão aritmética constante: r será igual a 0 e os elementos serão iguais.
  • Progressão aritmética decrescente: r será menor que 0 e os elementos estarão em ordem decrescente.

Observe como o exemplo já citado, (5,7,9,11,13,15,17), fica dividido de acordo com a constante 2:

a1 = 5

a2 = 5 + 2 = 7

a3 = 7 + 2 = 9

a4 = 9 + 2 = 11

a5 = 11 + 2 = 13

a6 = 13 + 2 = 15

a7 = 15 + 2 = 17

Para que o resultado de uma constante seja encontrado é necessário utilizar a seguinte fórmula: a n = a1 + (n – 1) . r. Por outro lado, caso uma progressão aritmética seja finita, a fórmula utilizada é outra. Assim, temos: Sn = (a1 + an) . n/2.

P.A finita e infinta

Além disso, o que diferencia uma P.A. finita de uma infinita é continuação da progressão. Ou seja, uma P.A. finita terá fim ao final da sequência um número. Enquanto isso, a P.A. infinita apresentará reticências no final da sequência, pois, ela não tem fim.

Progressões Aritméticas - O que são, fórmulas e maneiras de calcular
Exemplo de uma solução de progressão aritmética. Fonte: YouTube

Assim, observe os exemplos:

  • a sequência (4, 7, 10, 13, 16, …) é uma P.A. infinita.
  • a sequência (70, 60, 50, 40, 30, 20, 10) é uma P.A. finita.

Exemplo de cálculo de uma P.A. infinita:

  • Calcule o 16º termo de uma P.A, sabendo que a1 = -10 e r = 3.

an = a1 + (n – 1) . r

a16 = -10 + (16 – 1) . 3

a16 = -10 + 15 . 3

a16 = -10 + 45

a16 = 35

Nesse sentido, o valor obtido dessa progressão aritmética é 35.

O que achou da matéria? Se gostou, corre pra conferir outros textos aqui no site como, por exemplo, o que é a Teoria das Cordas e Movimento Uniforme.

Fontes: Mundo Educação, Toda Matéria e Info Escola

Fonte imagem destaque: Professor Ferretto

Por <a href='https://conhecimentocientifico.r7.com/author/dayane/' rel='dofollow' class='dim-on-hover'>Dayane Borges</a>
Por Dayane Borges
Jornalista e redatora com experiência em escrita criativa, adequação e produção de conteúdos multimídia para a web.