Logaritmo (log): o que é, como resolver, propriedades, exemplos

O logaritmo é a uma operação matemática usada para se descobrir o expoente que uma determinada base deve ter para resultar em uma potência.

Definição de logaritmo

O logaritmo é uma operação matemática. Ela está relacionada de forma direta com as equações exponenciais. Sendo que o intuito é encontrar o expoente que faz com que a base seja igual ao que chamamos de logaritmando.

Na prática, são resolvidas as equações exponenciais. Contudo, com essa operação surgem propriedades importantes que ajudam nas resoluções.

Desse modo, para resolvê-lo, é muito importante ter o domínio da operação e das propriedades existentes para ele. Sendo que elas se parecem muito com as propriedades das potências.

Além disso, para que essa operação seja bem definida, existem algumas restrições para o valor da base e do logaritmando chamadas de condição de existência.

Enfim, chamamos de logaritmo de a na base b, representado por log_ab, o valor x, tal que a elevado a x seja igual a b.

Por exemplo, ao escrevermos log₂8 (lê-se logaritmo de 8 na base 2), estamos procurando o número a que devemos elevar o 2 para que a resposta seja igual a 8.

Log₂8 = 3, pois 2³ = 8.

No geral, a operação é definida por:

x → logaritmo

b → base

a → logaritmando

Atenção: Quando não escrevemos a base, ela é sempre igual a 10, ou seja, Log a (lê-se logaritmo de a na base decimal).

Casos particulares de logaritmos

Agora que você conhece a definição, vamos analisar alguns casos particulares.

• log_b1 = 0, pois a⁰ = 1.

Todo número elevado a 0 é igual a 1. Portanto, o logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

Exemplo numérico: log₈1 = 0, pois 8⁰ = 1.

• log_bb = 1, pois b¹ = b.

Todo número elevado a 1 é ele mesmo. Sendo assim, o logaritmo de base e logaritmando iguais são sempre iguais a 1.

Exemplo numérico: log₅5 = 1, pois 5¹ = 5.

• Se log_ba = log_bc, então a = c, pois b^x = a e também b^x = c.

Dois logaritmos de mesma base são iguais se, e apenas se, o logaritmando for igual.

Exemplo numérico: Sabendo que log_b8 = log_ba, então a = 8.

• log_bbⁿ = n, pois, pela definição, bⁿ = bⁿ.

Esse caso é uma aplicação da definição, já que a base levada ao logaritmo é igual ao logaritmando.

Exemplo numérico: log₂2³ = 3, pois 2³ = 2³.

Condição de existência

Existem algumas restrições sobre os valores da base e do logaritmando.

Em síntese, a base de um logaritmo sempre deve ser um número positivo e diferente de 1, e o logaritmando deve ser sempre um número positivo. Na forma algébrica, temos:

log_ba

Sendo que a e b são números reais, tal que: a > 0 e b > 0 e b ≠ 1.

Como resolver

Alguns logaritmos podem ser resolvidos de forma direta, somente com a definição. Mas existem outros que exigem o domínio de equações exponencias.

Além disso, se for preciso, deve-se fazer a consulta da tabela de logaritmos decimais para saber o valor que não conseguimos calcular com base em uma equação exponencial.

Exemplo 1

Para calcular log₃243, siga o passo a passo:

1º passo

Aplique a definição para transformar o logaritmo em uma equação exponencial.

Seja log₃243 = x, então 3^x = 243.

2º passo

Iguale as bases quando possível.

3^x = 3⁵ → x = 5

Exemplo 2

Vamos calcular o logaritmo a seguir.

Tendo como base os dois passos do exemplo anterior, é preciso aplicar a definição e tentar igualar as bases. Sendo assim:

Propriedades dos logaritmos

Como existem casos onde a aplicação da definição não é suficiente para resolvê-los, foram desenvolvidas certas propriedades que facilitam essa resolução.

Desse modo, dominar essas ferramentas é indispensável para a resolução dos problemas sobre esse tema e para usar logaritmos para solucionar equações exponenciais de bases diferentes.

Por exemplo, vamos considerar X e Y dois números reais positivos e diferentes de 1 para todas as propriedades seguintes:

1ª propriedade: produto

log_b(X.Y) = log_bX+ log_bY

Em resumo, o logaritmo de um produto pode ser separado na adição do logaritmo de mesma base de cada um dos fatores.

2ª propriedade: quociente

Essa propriedade se parece bastante com a anterior. Dessa forma, o quociente pode ser separado com a subtração dos logaritmos de mesma base do numerador pelo denominador, nessa ordem.

3ª propriedade: potência

log_bXⁿ = n . log_bX

Por fim, sempre que tiver um expoente no logaritmando, o logaritmo de uma potência será igual à multiplicação desse expoente pelo logaritmo.

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Por exemplo, você pode aprender como calcular a probabilidade. Ou ainda, qual é a diferença entre mediana, moda e média.

Fonte: Info Escola, Wikipédia, Toda Matéria, Só Matemática, Mundo educação, Brasil Escola, Blog do Enem, Cola da Web.