Equação da reta: aprenda como calcular

A equação da reta é uma forma de representar uma reta. Sendo que é possível obter as equações da reta por meio das equações de primeiro grau, onde existem as variáveis x e y dentro do plano cartesiano.

Vale destacar que uma reta é um conjunto de pontos infinitos, com tamanho infinito e unidimensional. Além disso, a figura pode ser disposta na posição horizontal, vertical ou inclinada.

Enfim, existem três tipos de equações na reta:

• Equação geral da reta

• Equação reduzida da reta

• Por fim, a equação segmentária da reta

Equação geral da reta

É possível encontrar a equação geral da reta fazendo o alinhamento de dois pontos com um ponto (x,y) genérico da reta. Isso porque, dois pontos definem uma reta.

Sendo que os pontos A(x_a,y_a) e B(x_b,y_b), não são coincidentes e pertencentes ao plano cartesiano. Dessa forma, três pontos estão alinhados quando o determinante da matriz associada a esses pontos é igual a zero.

Sendo assim, é preciso calcular o determinante com a matriz:

Ao desenvolver o determinante encontramos a equação:

(y_a – y_b) x + (x_b – x_a) y + x_ay_b – x_by_a = 0

Podemos chamar de:

a = (y_a – y_b)
b = (x_b – x_a)
c = x_ay_b – x_by_a

Portanto, a equação geral da reta é definida como:

ax + by + c = 0

Desse modo, a, b e c são constantes e a e b não podem ser simultaneamente nulos.

Exemplo

Vamos supor que você deseje encontrar a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1, 8) e B(-5, -1).

O primeiro passo é escrever a condição de alinhamento de três pontos, definindo a matriz associada aos pontos dados e a um ponto genérico P(x,y) pertencente a reta. Sendo assim, temos:

Ao desenvolver o determinantes temos:

(8+1)x + (1-5)y + 40 + 1 = 0

Por fim, a equação geral da reta que passa pelos pontos A(-1,8) e B(-5,-1) é:

9x – 4y + 41 = 0

Equação reduzida da reta

Na equação reduzida da reta temos o coeficiente linear e o coeficiente angular:

1- Como encontrar o coeficiente linear?

Em resumo, o coeficiente linear n da reta r é estabelecido como o ponto em que a reta intercepta o eixo y, ou seja o ponto de coordenadas P(0,n).

Desse modo, usando este ponto temos que:

y – n = m (x – 0)

y = mx + n (Equação reduzida da reta).

Vamos a um exemplo prático. Como sabemos que a equação da reta r é dada por y = x + 5, vamos identificar o seu coeficiente angular, sua inclinação e o ponto em que a reta intercepta o eixo y.

Temos a equação reduzida da reta, Dessa maneira:

m = 1

Sendo m = tg θ ⇒ tg θ = 1 ⇒ θ = 45º

Portanto, o ponto de interseção da reta com o eixo y é o ponto P(0,n), sendo n=5, então o ponto será P(0,5).

2- Como encontrar o coeficiente angular?

É possível definir a equação da reta r conhecendo a sua inclinação (direção), ou seja o valor do ângulo θ que a reta apresenta em relação ao eixo x.

Para isso, devemos associar o número m, que é chamado de coeficiente angular da reta, de forma que:

m = tg θ

Além disso, o coeficiente angular m também pode ser definido ao se conhecer dois pontos pertencentes à reta.

Como m = tg θ, sendo assim:

Por exemplo, vamos determinar o coeficiente angular da reta r, que passa pelos pontos A(1,4) e B(2,3). Desse modo, temos:

x₁ = 1 e y₁ = 4
x₂ = 2 e y₂ = 3

Como conhecemos o coeficiente angular da reta m e um ponto P₀(x₀,y₀) pertencente a ela, podemos definir sua equação.

Para isso, basta substituir na fórmula do coeficiente angular o ponto conhecido P₀ e um ponto P(x,y) genérico, também pertencente a reta:

Equação segmentária da reta

É possível calcular o coeficiente angular usando o ponto A(a,0) que a reta intercepta o eixo x e o ponto B(0,b) que intercepta o eixo y:

Levando em conta que n = b e substituindo na forma reduzida, temos:

Por fim, dividindo todos os membros por ab, encontramos a equação segmentária da reta:

Exemplo

Vamos supor que você deseja escrever na forma segmentária, a equação da reta que passa pelo ponto A(5,0) e tem coeficiente angular 2.

Primeiramente, é preciso encontrar o ponto B(0,b), substituindo na expressão do coeficiente angular. Dessa maneira, temos:

Posteriormente, é preciso substituir os valores na equação, para termos a equação segmentária da reta:

Exercícios sobre a equação da reta

Por fim, teste seus conhecimentos com os exercícios abaixo:

UVA

A equação da reta que passa pelo ponto A(2,5) e cujo coeficiente angular é –2, é:

A) 2x + y – 9 = 0.

B) X + y – 8 = 0.

C) 3x +2 y – 1 = 0.

D) 3x – y – 5 = 0.

ENEM (2016)

Para uma feira de ciências, dois projéteis de foguetes, A e B, estão sendo construídos para serem lançados. O planejamento é que eles sejam lançados juntos, com o objetivo de o projétil B interceptar o A quando esse alcançar sua altura máxima. Para que isso aconteça, um dos projéteis descreverá uma trajetória parabólica, enquanto o outro irá descrever uma trajetória supostamente retilínea. O gráfico mostra as alturas alcançadas por esses projéteis em função do tempo, nas simulações realizadas.

Com base nessas simulações, observou-se que a trajetória do projétil B deveria ser alterada para que o
objetivo fosse alcançado.

Para alcançar o objetivo, o coeficiente angular da reta que representa a trajetória de B deverá

A) diminuir em 2 unidades.

B) diminuir em 4 unidades.

C) aumentar em 2 unidades.

D) aumentar em 4 unidades.

E) aumentar em 8 unidades.

PUC-SP (2018)

A função f (x) = (x/2)² e a circunferência de centro C e equação (x – 2)² + (y –2)² = 8 se intersectam nos pontos P e O, sendo O a origem do sistema cartesiano, conforme mostra o gráfico.

A equação da reta s, tangente à circunferência no ponto P, pode ser dada por:

A) y = – x.

B) y = – x + 8.

C) y = – x + 2.

D) y = – x/2

Gabarito

UVA: o certo é a opção A).

ENEM (2016): o correto é a alternativa C).

PUC-SP (2018): o certo é a opção B).

Fontes: Toda matéria, Educa mais Brasil, e, por fim, Info escola.

Bibliografia

• Equação na reta. Projeto Agatha Edu. Acesso em 09 de janeiro de 2023.
• Gouveia, Rosimar. Equação da reta. Toda matéria. Acesso em 09 de janeiro de 2023.
• Exercícios equação da reta. Info escola. Acesso em 09 de janeiro de 2023.