Matemática

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

O cosseno é uma função trigonométrica, usada em um triângulo retângulo para definir a razão entre o cateto adjacente a e a hipotenusa deste triângulo. Entenda.

Atualizado em 31/05/2020

Trigonometria é a área da matemática que estuda os lados e os ângulos dos triângulos. Dentro da trigonometria, existem três razões essenciais, essas que chamamos de seno, cosseno e tangente.

O estudo das relações trigonométricas, ainda na antiguidade, foi muito importante para o desenvolvimento de muitas outras áreas importantes do conhecimento, que utilizam a matemática. Isso porque, a maioria dos cálculos de distância são resolvidos a partir da trigonometria. Sendo assim, conhecer e entender os seus fundamentos básicos é essencial.

E isso começa pelo triângulo retângulo, e suas razões trigonométricas, onde entra o seno, cosseno e tangente. Contudo, hoje iremos conhecer melhor a definição de cosseno e suas leis. Vamos lá.

O Triangulo Retângulo

Antes de mais nada, precisamos entender o que é, e quais as características do nosso objeto de estudo. Assim, temos o triângulo retângulo, que é constituído por um ângulo reto (90° ), e dois ângulos menores, ou seja, ângulos agudos.

Outra característica importante do triângulo, é que os maiores lados sempre serão opostos aos maiores ângulos. Portanto, em todo triângulo retângulo, teremos os seguintes elementos:

  • Hipotenusa: oposta ao ângulo reto, é caracterizada por ter o maior lado do triângulo.
  • Catetos: correspondem aos dois outros lados perpendiculares entre si.
Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos
Triangulo retângulo.
Fonte: Brasil Escola

Sendo assim, no exemplo acima, os catetos são identificados pelos lados c e b, onde o lado a é a hipotenusa.

Além disso, em todo triângulo retângulo, a relação conhecia como teorema de Pitágoras é válida (a2 = b2 + c2 )

Sabendo disso, a partir de agora, os catetos receberão nomes especiais. Assim essas nomenclaturas serão definidas de acordo com o ângulo de referência.

Por exemplo, na imagem acima. Observe o ângulo azul, assim o cateto b é considerado cateto oposto, enquanto o cateto c que está ao lado do ângulo, e chamado de cateto adjacente.

A definição de cosseno

Sabendo disso, vamos ao que interessa, o cosseno. Conforme visto anteriormente, o cosseno é uma das razões trigonométricas. Ela é uma função periódica limitada que é o resultado da razão entre o cateto adjacente e a hipotenusa.

Desse modo, a razão entre os lados do triângulo é dado pela seguinte fórmula:

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos
Fonte: Matemática Básica

No entanto, a relação cosseno depende do ângulo considerado. Vejamos um exemplo:

Fonte: Toda Matéria

Assim sendo, em relação ao ângulo α, temos:

Fonte: Guia Estudo

Cosseno dos ângulos notáveis

Assim, dentro da trigonometria existem alguns ângulos que são chamados de notáveis, uma vez que o seu valor é calculado facilmente.

Desse modo, temos os seguintes ângulos notáveis do cosseno:

Tabela de valores dos ângulos notáveis.
Fonte: Guia Estudo

Função cosseno

A função do cosseno é definida da seguinte forma: f(x)=cos(x).

Observe o exemplo a seguir:

 

Fonte: InfoEscola

Sendo assim, na função temos:

  • O cosseno de um ângulo sempre estará sob o eixo das abscissas (x).
  • Ele é positivo no 1º e 4º quadrantes;
  • Portanto, no 2º e 3º quadrantes os valores são negativos;
  • Domínio da função cosseno diz respeito ao conjunto dos números reais;
  • A imagem corresponde ao intervalo real [-1,1] ou -1 = cos x = 1;
  • O período é o mesmo que a função do seno, sendo assim, é:
Fonte: Guia Estudo

Gráfico da função cosseno

Cossenoide é o nome dado ao gráfico da função cosseno. Sendo assim, veja a seguir sua representação:

Representação do gráfico da função cosseno.
Fonte: Glouny

A lei dos cossenos

Por fim, temos a lei dos cossenos, que é usada no caso de questões trigonométricas que não envolvem um triângulo retângulo, ou seja, que não possui um ângulo reto.

Nesse caso, essa lei é usada para solucionar problemas de um triângulo qualquer. Assim, temos as seguintes expressões matemáticas da lei dos cossenos:

a² = b² + c²  – 2ab . CoA

b²  = a + c²  – 2ac . CosB

c² = a + b² – 2ac . CosC

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e lei dos cossenos
Representação da Lei dos Cossenos.
Fonte: Toda Matéria

E para terminar, um exercício para colocar em prática o que aprendeu até aqui.

Exercício

Calcule a medida de x no seguinte triângulo, sabendo que  Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos
Fonte: InfoEscola

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Cosseno – Definição, gráfico da função, tabela e Lei dos Cossenos

Enfim, o que achou dessa matéria? Aproveite para aprender também sobre as expressões numéricas.

Fontes: InfoEscola, Educa Mais Brasil, SBM

Fonte Imagem Destaque: Valente Sho